сложный план

линейное программирование
—
[ http://www.iks-media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324]

линейное программирование
Область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между переменными. В самом общем виде задачу Л.п. можно записать так. Даны ограничения типа или в так называемой канонической форме, к которой можно привести все три указанных случая Требуется найти неотрицательные числа xj (j = 1, 2, …, n), которые минимизируют (или максимизируют) линейную форму Неотрицательность искомых чисел записывается так: Таким образом, здесь представлена общая задача математического программирования с теми оговорками, что как ограничения, так и целевая функция — линейные, а искомые переменные — неотрицательны. Обозначения можно трактовать следующим образом: bi — количество ресурса вида i; m — количество видов этих ресурсов; aij — норма расхода ресурса вида i на единицу продукции вида j; xj — количество продукции вида j, причем таких видов — n; cj — доход (или другой выигрыш) от единицы этой продукции, а в случае задачи на минимум — затраты на единицу продукции; нумерация ресурсов разделена на три части: от 1 до m1, от m1 + 1 до m2 и от m2 + 1 до m в зависимости от того, какие ставятся ограничения на расходование этих ресурсов; в первом случае — «не больше», во втором — «столько же», в третьем — «не меньше»; Z — в случае максимизации, например, объем продукции или дохода, в случае же минимизации — себестоимость, расход сырья и т.п. Добавим еще одно обозначение, оно появится несколько ниже; vi — оптимальная оценка i-го ресурса. Слово «программирование» объясняется здесь тем, что неизвестные переменные, которые отыскиваются в процессе решения задачи, обычно в совокупности определяют программу (план) работы некоторого экономического объекта. Слово, «линейное» отражает факт линейной зависимости между переменными. При этом, как указано, задача обязательно имеет экстремальный характер, т.е. состоит в отыскании экстремума (максимума или минимума) целевой функции. Следует с самого начала предупредить: предпосылка линейности, когда в реальной экономике подавляющее большинство зависимостей носит более сложный нелинейный характер, есть огрубление, упрощение действительности. В некоторых случаях оно достаточно реалистично, в других же выводы, получаемые с помощью решения задач Л.п. оказываются весьма несовершенными. Рассмотрим две задачи Л.п. — на максимум и на минимум — на упрощенных примерах. Предположим, требуется разработать план производства двух видов продукции (объем первого — x1; второго — x2) с наиболее выгодным использованием трех видов ресурсов (наилучшим в смысле максимума общей прибыли от реализации плана). Условия задачи можно записать в виде таблицы (матрицы). Исходя из норм, зафиксированных в таблице, запишем неравенства (ограничения): a11x1 + a12x2 ? bi a21x1 + a22x2 ? b2 a31x1 + a32x2 ? b3 Это означает, что общий расход каждого из трех видов ресурсов не может быть больше его наличия. Поскольку выпуск продукции не может быть отрицательным, добавим еще два ограничения: x1? 0, x2? 0. Требуется найти такие значения x1 и x2, при которых общая сумма прибыли, т.е. величина c1 x1 + c2 x2 будет наибольшей, или короче: Удобно показать условия задачи на графике (рис. Л.2). Рис. Л.2 Линейное программирование, I (штриховкой окантована область допустимых решений) Любая точка здесь, обозначаемая координатами x1 и x2, составляет вариант искомого плана. Очевидно, что, например, все точки, находящиеся в области, ограниченной осями координат и прямой AA, удовлетворяют тому условию, что не может быть израсходовано первого ресурса больше, чем его у нас имеется в наличии (в случае, если точка находится на самой прямой, ресурс используется полностью). Если то же рассуждение отнести к остальным ограничениям, то станет ясно, что всем условиям задачи удовлетворяет любая точка, находящаяся в пределах области, края которой заштрихованы, — она называется областью допустимых решений (или областью допустимых значений, допустимым множеством). Остается найти ту из них, которая даст наибольшую прибыль, т.е. максимум целевой функции. Выбрав произвольно прямую c1x1 + c2x2 = П и обозначив ее MM, находим на чертеже все точки (варианты планов), где прибыль одинакова при любом сочетании x1 и x2 (см. Линия уровня). Перемещая эту линию параллельно ее исходному положению, найдем точку, которая в наибольшей мере удалена от начала координат, однако не вышла за пределы области допустимых значений. (Перемещая линию уровня еще дальше, уже выходим из нее и, следовательно, нарушаем ограничения задачи). Точка M0 и будет искомым оптимальным планом. Она находится в одной из вершин многоугольника. Может быть и такой случай, когда линия уровня совпадает с одной из прямых, ограничивающих область допустимых значений, тогда оптимальным будет любой план, находящийся на соответствующем отрезке. Координаты точки M0 (т.е. оптимальный план) можно найти, решая совместно уравнения тех прямых, на пересечении которых она находится. Противоположна изложенной другая задача Л.п.: поиск минимума функции при заданных ограничениях. Такая задача возникает, например, когда требуется найти наиболее дешевую смесь некоторых продуктов, содержащих необходимые компоненты (см. Задача о диете). При этом известно содержание каждого компонента в единице исходного продукта — aij, ее себестоимость — cj ; задается потребность в искомых компонентах — bi. Эти данные можно записать в таблице (матрице), сходной с той, которая приведена выше, а затем построить уравнения как ограничений, так и целевой функции. Предыдущая задача решалась графически. Рассуждая аналогично, можно построить график (рис. Л.3), каждая точка которого — вариант искомого плана: сочетания разных количеств продуктов x1 и x2. Рис.Л.3 Линейное программирование, II Область допустимых решений здесь ничем сверху не ограничена: нужное количество заданных компонентов тем легче получить, чем больше исходных продуктов. Но требуется найти наиболее выгодное их сочетание. Пунктирные линии, как и в предыдущем примере, — линии уровня. Здесь они соединяют планы, при которых себестоимость смесей исходных продуктов одинакова. Линия, соответствующая наименьшему ее значению при заданных требованиях, — линия MM. Искомый оптимальный план — в точке M0. Приведенные крайне упрощенные примеры демонстрируют основные особенности задачи Л.п. Реальные задачи, насчитывающие много переменных, нельзя изобразить на плоскости — для их геометрической интерпретации используются абстрактные многомерные пространства. При этом допустимое решение задачи — точка в n-мерном пространстве, множество всех допустимых решений — выпуклое множество в этом пространстве (выпуклый многогранник). Задачи Л.п., в которых нормативы (или коэффициенты), объемы ресурсов («константы ограничений«) или коэффициенты целевой функции содержат случайные элементы, называются задачами линейного стохастического программирования; когда же одна или несколько независимых переменных могут принимать только целочисленные значения, то перед нами задача линейного целочисленного программирования. В экономике широко применяются линейно-программные методы решения задач размещения производства (см. Транспортная задача), расчета рационов для скота (см. Задача диеты), наилучшего использования материалов (см. Задача о раскрое), распределения ресурсов по работам, которые надо выполнять (см. Распределительная задача) и т.д. Разработан целый ряд вычислительных приемов, позволяющих решать на ЭВМ задачи линейного программирования, насчитывающие сотни и тысячи переменных, неравенств и уравнений. Среди них наибольшее распространение приобрели методы последовательного улучшения допустимого решения (см. Симплексный метод, Базисное решение), а также декомпозиционные методы решения крупноразмерных задач, методы динамического программирования и др. Сама разработка и исследование таких методов — развитая область вычислительной математики. Один из видов решения имеет особое значение для экономической интерпретации задачи Л.п. Он связан с тем, что каждой прямой задаче Л.п. соответствует другая, симметричная ей двойственная задача (подробнее см. также Двойственность в линейном программировании). Если в качестве прямой принять задачу максимизации выпуска продукции (или объема реализации, прибыли и т.д.), то двойственная задача заключается, наоборот, в нахождении таких оценок ресурсов, которые минимизируют затраты. В случае оптимального решения ее целевая функция — сумма произведений оценки (цены) vi каждого ресурса на его количество bi— то есть равна целевой функции прямой задачи. Эта цена называется объективно обусловленной, или оптимальной оценкой, или разрешающим множителем. Основополагающий принцип Л.п. состоит в том, что в оптимальном плане и при оптимальных оценках всех ресурсов затраты и результаты равны. Оценки двойственной задачи обладают замечательными свойствами: они показывают, насколько возрастет (или уменьшится) целевая функция прямой задачи при увеличении (или уменьшении) запаса соответствующего вида ресурсов на единицу. В частности, чем больше в нашем распоряжении данного ресурса по сравнению с потребностью в нем, тем ниже будет оценка, и наоборот. Не решая прямую задачу, по оценкам ресурсов, полученных в двойственной задаче, можно найти оптимальный план: в него войдут все технологические способы, которые оправдывают затраты, исчисленные в этих оценках (см. Объективно обусловленные (оптимальные) оценки). Первооткрыватель Л.п. — советский ученый, академик, лауреат Ленинской, Государственной и Нобелевской премий Л.В.Канторович. В 1939 г. он решил математически несколько задач: о наилучшей загрузке машин, о раскрое материалов с наименьшими расходами, о распределении грузов по нескольким видам транспорта и др., при этом разработав универсальный метод решения этих задач, а также различные алгоритмы, реализующие его. Л.В.Канторович впервые точно сформулировал такие важные и теперь широко принятые экономико-математические понятия, как оптимальность плана, оптимальное распределение ресурсов, объективно обусловленные (оптимальные) оценки, указав многочисленные области экономики, где могут быть применены экономико-математические методы принятия оптимальных решений. Позднее, в 40—50-х годах, многое сделали в этой области американские ученые — экономист Т.Купманс и математик Дж. Данциг. Последнему принадлежит термин «линейное программирование». См. также: Ассортиментные задачи, Базисное решение, Блочное программирование, Булево линейное программирование, Ведущий столбец, Ведущая строка, Вершина допустимого многогранника, Вырожденная задача, Гомори способ, Граничная точка, Двойственная задача, Двойственность в линейном программировании, Дифференциальные ренты, Дополняющая нежесткость, Жесткость и нежесткость ограничений ЛП, Задача диеты, Задача о назначениях, Задача о раскрое, Задачи размещения, Исходные уравнения, Куна — Таккера условия, Множители Лагранжа, Область допустимых решений, Опорная прямая, Распределительные задачи, Седловая точка, Симплексная таблица, Симплексный метод, Транспортная задача.
[ http://slovar-lopatnikov.ru/]

Тематики

• экономика
• электросвязь, основные понятия

EN

• linear programming

быть готовым ответить на вопросы — to be open to questions

задать вопрос — to ask / to put a questien

задать вопрос в письменной форме — to put a written question

задать предварительный вопрос — to raise a preliminary question

предлагать / просить задавать вопросы — to invite questions

излагать вопросы — to state questions

ясно излагать суть вопроса — to make one's question unequivocal

исследовать вопрос — to examine a question

исчерпать вопрос — to settle a question

касаться вопроса — to touch upon a question

коснуться вопроса вскользь — to touch upon a question in passing

обдумывать вопрос — to ponder a question

обменяться мнениями по широкому кругу вопросов — to exchange views / opinions ona wide range of questions

ответить вопросом на вопрос — to counter with another question, to parry a question

отказаться отвечать на вопросы — to decline to answer questions

осаждать вопросами — to ply smb. with questions

парировать вопрос — to parry a question

предложить кому-л. вопрос — to put a question to smb.

поставить вопрос — to pose a question

сформулировать вопрос — to formulate / to frame a question

вопрос надо заново сформулировать — the question needs to be restated

увиливать от ответа на вопрос — to dodge a question

уйти / уклониться от вопроса — to evade / to skirt a question, to shy away from a question

уточнить вопрос — to clear up a question

вопрос сводится к следующему... — the question resolves itself into this...

бесчисленные вопросы — numberless questions

внеочередной вопрос — question out of order

двусмысленный вопрос — ambiguous question

каверзный вопрос — tricky question

наводящий вопрос — leading question

наивный вопрос — naive question

неожиданный вопрос — unexpected / off-the-wall question

праздный вопрос — idle question

провокационный вопрос — provocative question

прямой / категорический вопрос — point-blank / straight / direct question

риторический вопрос — rhetorical question

уместный вопрос — pertinent question

щекотливый вопрос — ticklish question

вопрос, допускающий разное толкование / разные ответы — open-ended question

вынести вопрос на обсуждение / рассмотрение — to submit a question for discussion / consideration

вопрос следует вынести на обсуждение — the matter requires discussion / ventilation

время, отведённое на вопросы и ответы — question and answer period

град вопросов — deluge of questions

биться над вопросом — to wrestle with a question / a problem

взвешивать вопрос — to weigh a matter

внести ясность в вопрос — to clear / to clarify / to brighten / to elucidate a question

вникнуть в вопрос — to go into a question

вступить с кем-л. в спор по какому-л. вопросу — to take issue with smb. on smth.

выступать в порядке уточнения вопроса — to raise a point of clarification

выяснять вопрос — to clear up / to sort out a matter / a question, to clarify a point / an issue

выяснять трудные и сомнительные вопросы — to settle points of difficulty and doubt

добраться до существа / сути вопроса — to go to the heart of a question

договориться по основным вопросам — to agree on / upon fundamentals

завершить обсуждение вопроса — to bring an issue to a close

заниматься каким-л. вопросом — to deal with a matter / a problem

запутать вопрос — to confuse an issue; to entangle a question / an issue; to involve a question in difficulty

затрагивать вопрос — to broach / to touch upon a question

затрагивать много вопросов — to cover much ground

излагать вопрос — to state a question / an issue; to set forth an issue

изучать какой-л. вопрос — to go into / to study a question, to explore a problem, to see into a matter

всесторонне изучить вопрос — to study a question from every side / from all sides

тщательно изучать вопрос — to scrutinize an issue

искать решения вопросов — to seek solutions to issues

исключать вопрос — to discard / to exclude a question

исчерпать вопрос — to settle a question

настаивать на решении вопроса — to force the issue

не иметь отношения к вопросу — to have nothing to do with a question, to be foreign to a question

обдумывать вопрос — to think over a question / a matter, to meditate / to contemplate a problem

обратиться к кому-л. по данному вопросу — to approach smb. on the matter

обсуждать вопрос — to discuss / to dispute a question / a matter, to debate an issue / a matter / a point

обходить вопрос — pass over / to side-step a question / an issue

оспаривать вопрос — to contest a point

оставить вопрос открытым — to leave the question / the matter open, to keep / to leave the matter in abeyance

оставлять в тени вопрос — to overshadow an issue

остановиться на вопросе — to dwell (up)on a question, to take up a point

подробно остановиться на вопросе — to elaborate on an issue

отделить вопрос от чего-л. — to separate a question from smth.

откладывать вопрос — to set aside a question

откладывать вопрос в долгий ящик — to shelve a question

отклониться / отойти от вопроса — to depart / to deviate / to digress from the question

отодвинуть главный вопрос на задний план — to blur the central point

поднимать / ставить вопрос — to bring up / to open / to raise a question, to broach an issue / a subject

вновь поднимать вопрос — to reopen a subject

подойти к вопросу — to come down to the point

подойти вплотную к решению вопроса — to be on the verge of solving a problem

поставить вопрос на голосование — to put the question to the vote

поставить вопрос на обсуждение — to introduce a question for debate / for discussion

поставить перед кем-л. вопрос — to put a point before smb.

похоронить вопрос — to bury a question

представить / рассмотреть вопрос в истинном свете — to place a question in its true perspective

представлять кому-л. вопрос на обсуждение / рассмотрение — to submit a question to smb. for consideration

прекратить обсуждение вопроса — to dismiss an issue / a problem

приступить к обсуждению / рассмотрению вопроса — to enter into an examination / upon ventilation of a question / an issue

проанализировать вопрос — to analyse an issue / a problem

продолжать обсуждение какого-л. вопроса — to pursue a point

осветить какой-л. вопрос — to elucidate a question / a matter; to throw light at a question; to shed light on a problem

просветить кого-л. в каком-л. вопросе — to enlighten smb. on a subject

раздувать вопрос — to blow a subject way out of proportion

разобраться в каком-л. вопросе до конца — to sift a question to the bottom

разработать вопрос — to elaborate a point, to work out a problem

разрешить вопрос — to solve / to resolve a problem

пытаться разрешить вопрос — to grapple with a question / a problem

рассматривать вопрос — to consider / to examine a question / an issue / a problem

рассматривать каждый вопрос в отдельности — to deal with questions singly

растолковать кому-л. вопрос — to drive home a point to smb.

расходиться во мнениях по какому-л. вопросу — to split on a question / an issue

решать вопрос — to handle a problem / a matter, to tackle / to resolve an issue

сводить вопрос к чему-л. — to boil down a problem to smth.

вопрос сводится к следующему — the question boils down / reduces itself to the following

сглаживать вопрос — to smooth a matter

сосредоточиться на вопросе — to focus on a question / a problem

считать вопрос решённым — to regard / to consider the matter as closed

требовать немедленного обсуждения вопроса — to ask that a matter be treated as urgent

уводить обсуждение от существа вопроса — to sidetrack an issue / a problem

уклоняться от обсуждения вопроса — to side-step / to duck an issue; to skirt a question

уладить вопрос — to adjust a matter

упрощать вопрос — to simplify a matter

усложнять вопрос — to complicate a question / a problem

уходить от решения вопроса — to dodge a problem / an issue

вопрос всё ещё обсуждается — the matter is still under discussion

вопрос надо поставить иначе / вновь — the question needs to be restated

вопрос об этом больше не стоит — that is no longer in question

вопрос решён — the matter is closed

эти вопросы вызывают разногласия — these issues are divisive

рассмотрение вопроса приостановлено — the question is in abeyance

актуальный вопрос — topical / pressing / vital question, matter of current / topical interest

наиболее актуальный вопрос — question of the day

этот вопрос очень актуален — this question is very relevant today

больной / наболевший вопрос — sore point / subject

(очень) важный вопрос — (very) important question / matter; question of (great / crucial) importance, overriding issue, substantial point

внешнеполитический вопрос — question / issue of foreign policy

основные внешнеполитические вопросы — major / crucial issue of foreign policy

внутриполитический вопрос — question of home policy

военные вопросы — military matters

второстепенный вопрос — minor question / issue, side issue

главный вопрос — crucial / pivotal question, main / major issue / problem / question / point

гражданский вопрос — civil matter

гуманитарные вопросы — humanitarian matters / concerns

деликатный вопрос — delicate question / problem / matter

деловой вопрос — matter of business

жгучий вопрос — burning question, hot issue

животрепещущий / жизненно важный вопрос — vital issue / question; issue / question of vital importance

запутанный вопрос — knotty / intricate question, tricky problem / question

злободневный вопрос — burning / pressing question, burning topic of the day, hot issue

исчерпанный вопрос — closed subject

кадровые вопросы — personnel problems

ключевой вопрос — key problem

конкретный вопрос — specific point

коренные вопросы — fundamental questions / problems

насущный вопрос — question of vital importance, urgent / vital question, vital / bread-and-butter issue

находящийся на рассмотрении вопрос — pending question, question under consideration

национальный вопрос — national / nationalities question, problem of nationalities

неотложный вопрос — pressing / urgent question / matter; issue at hand

неразрешённый вопрос — unsolved problem, outstanding issue / problem / question, unresolved / unsolved / open question

неразрешимый / нерешённый вопрос — insol-vable / unresolvable question

общеизвестный вопрос — matter of common knowledge

общие вопросы — general questions

основной вопрос — fundamental / leading / primal question, basic / key / main issue, key / main problem / question

острый вопрос — acute problem

открытый вопрос — open question

первоочередной вопрос — overriding issue / problem, top-priority issue, matter of priority

побочный вопрос — side issue

пограничный вопрос — frontier problem

политический вопрос — political issue

поставленный на голосование вопрос — subject-matter of the vote

посторонние вопросы — extraneous issues

правовой / юридический вопрос — legal issue

принципиальный вопрос — matter / question of principle

расходиться во взглядах по принципиальным вопрос ам — to differ on fundamentals

протокольный вопрос — protocol matter

разногласия по протокольным вопросам — disagreement on protocol matters

процедурный вопрос — procedural matter, point of order

выступать по процедурному вопросу — to intervene on a point

спорный процедурный вопрос — vexed question of procedure

сложный вопрос — complicated question / matter; knotty / thomy problem; complex issue / question

спорный / дискуссионный вопрос — controversial / vexed question; contentious issue; moot / debating point; point at issue; debatable / disputable / question / point

выступать за решение спорных вопросов путём переговоров — to advocate the settlement of disputable / controversial issues by negotiations

решать спорные вопросы мирным путём — to solve disputes peaceably

урегулировать спорный вопрос — to settle a dispute

стоящий перед кем-л. вопрос — problem facing smb.

финансовый вопрос — money matter

частные вопросы — incidental points

щекотливый вопрос — delicate / sensitive issue; ticklish problem

вопрос большой государственной важности — matter of the utmost importance to the state

вопросы внешней политики — foreign-policy issues

вопрос высокой политики — matter of high politics

вопросы, входящие во внутреннюю компетенцию государства — matters which are within the domestic jurisdiction of a state

вопрос личного характера — personal matter

вопросы международной политики — international affairs

вопросы местного значения — questions of local significance

вопрос, не заслуживающий внимания — matter of small weight

вопрос, не относящийся к теме / делу — question remote from the subject

вопросы общегосударственного значения — questions of national importance

вопросы, относящиеся к данному делу — questions pertinent to the matter in hand

вопрос первоочерёдной / первостепенной важности — matter of the highest / of urgent priority

вопрос, по которому спорящие стороны сходятся во мнениях — common ground

вопрос, по которому существуют разногласия — area of disagreement

вопрос по существу — point of substance; pertinent question

перейти к вопросу по существу — to come. to the merits / substance of the matter

вопрос, представляющий взаимный интерес — question / matter of mutual interest / concern, issue of common concern / interest

вопрос, решение которого зашло в тупик — deadlocked issue

вопрос, уводящий в сторону от главной темы — red herring

вопрос, чреватый серьёзными последствиями — far-reaching question

перечень вопросов, подлежащих рассмотрению в первую очередь — priority list of topics

постановка вопрос — a presentation of a problem

по существу вопроса — to the point

выступать / говорить по существу вопроса — to speak to the question / point

рассмотрение вопроса по существу — substantive examination of a question

урегулирование вопроса в судебном порядке — judicial settlement

широкий круг вопросов — wide range of questions / problems

широкий круг вопросов, охватываемый проектом резолюции — broad scope of a draft resolution

включить вопрос в повестку дня — to include an item in the agenda / in the order of the day

навязать рассмотрение вопроса — to force the consideration of an item

поставить вопрос на повестку дня — to put an item on the agenda

снять вопрос с повестки дня — to withdraw an item from the agenda

расходиться по некоторым вопросам — to disagree on several items

отдельный вопрос — separate item

первый вопрос повестки дня — the first item on the agenda

вопрос (повестки дня), переданный на рассмотрение комитета — item allocated / referred to the Committee

вопрос повестки дня — item on the agenda

вопрос, рекомендуемый для включения в повестку дня — item recommended for inclusion

очерёдность / порядок вопросов — order of priority

изменить очерёдность вопросов — to change the order of the items

установить очерёдность вопросов — to establish an order of priority

поставить что-л. под вопрос — to call smth. in question; to question the necessity / validity of smth.

вопрос времени — matter of time

вопрос жизни и смерти — matter of life and death

вопрос чести — point of honour

под (большим) вопросом — subject to doubt; problematic